Distribución T Student

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
\frac{Z}{\sqrt{V/\nu\ }}
donde
  • Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
  • V tiene una distribución ji-cuadrado con \nu\ grados de libertad
  • Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente \frac{Z+\mu}{\sqrt{V/\nu\ }} es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad \mu.

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea
\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n
la media muestral. Entonces
Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,
T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}},
donde
S ^ 2(x) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2
es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}
donde \nu\ es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro \nu\ representa el número de grados de libertad. La distribución depende de \nu\ , pero no de \mu o \sigma, lo cual es muy importante en la práctica.

Distribución t de Student No Estandarizada

La distribución t puede generalizarse a 3 parámetros, introduciendo un parámero locacional \mu y otro de escala \sigma. El resultado es una distribucón t de Student No Estandarizada cuya densidad está definida por:
p(x|\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}
Equivalentemente, puede escribirse en términos de \sigma^2 (correspondiente a la varianza en vez de a la desviación estándar):
p(x|\nu,\mu,\sigma^2) = \frac{\Gamma(\frac{\nu + 1}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{\pi\nu\sigma^2}} \left(1+\frac{1}{\nu}\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}
Otras propiedades de esta versión de la distribución t son:
\begin{align} \operatorname{E}(X) &= \mu \quad \quad \quad \text{for }\,\nu > 1 ,\\ \text{Var}(X) &= \sigma^2\frac{\nu}{\nu-2}\, \quad \text{for }\,\nu > 2 ,\\ \text{Moda}(X) &= \mu . \end{align}



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